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Appliquer la formule du binôme de Newton - Exercice 3

6 min
20
Question 1

Quel est le coefficient de x5x^{5} dans le développement de (x+2)9\left(x+2\right)^{9} ?

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(x+2)9=∑k=09(9k)xk29−k\left(x+2\right)^{9} =\sum _{k=0}^{9}\left(\begin{array}{c} {9} \\ {k} \end{array}\right)x^{k} 2^{9-k}
Le terme x5x^{5} s’obtient lorsque k=5k=5 . Le coefficient du terme x5x^{5} est alors : (95)×29−5\left(\begin{array}{c} {9} \\ {5} \end{array}\right)\times 2^{9-5} .
A la calculatrice, nous obtenons : (95)×29−5=2016\left(\begin{array}{c} {9} \\ {5} \end{array}\right)\times 2^{9-5}=2016 .
Le coefficient de x5x^{5} dans le développement de (x+2)9\left(x+2\right)^{9} est égale à 20162016 .
Question 2

Quel est le coefficient de x2x^{2} dans le développement de (x−1)5\left(x-1\right)^{5} ?

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(x−1)5=∑k=05(5k)xk(−1)5−k\left(x-1\right)^{5} =\sum _{k=0}^{5}\left(\begin{array}{c} {5} \\ {k} \end{array}\right)x^{k} \left(-1\right)^{5-k}
Le terme x2x^{2} s’obtient lorsque k=2k=2 . Le coefficient du terme x2x^{2} est alors : (52)×(−1)5−2\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(-1\right)^{5-2} .
A la calculatrice, nous obtenons : (52)×(−1)5−2=−10\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(-1\right)^{5-2}=-10 .
Le coefficient de x2x^{2} dans le développement de (x−1)5\left(x-1\right)^{5} est égale à −10-10 .

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