Exercice 10 - Exercice 1

Pour statuer sur la nature de cette série, nous allons utiliser une équivalence à une série de Riemann. A cet usage, nous allons réaliser un passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$. On obtient, au troisième ordre en $$\dfrac{1}{n}$$ :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \ln \left( n \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{6n^3} + o\left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right) \right)$$
De fait, on a :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \ln \left( \dfrac{n}{n} - \dfrac{n}{6n^3} + o\left( \dfrac{n}{n^3} \right) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \ln \left( 1 - \dfrac{1}{6n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right) \right)$$
En développant cette expression au premier ordre en $$\dfrac{1}{n^2}$$, on trouve que :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} - \dfrac{1}{6n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right)$$
On peut donc écrire que :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{6n^2}$$
Ce qui implique que :
$$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \sum_{n=1}^{+\infty} \left( - \dfrac{1}{6n^2} \right)$$
Soit :
$$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{6} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
Soit encore :
$$S \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} - \dfrac{1}{6} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
On reconnait l'équivalence à la série une série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ qui est une série de Riemann convergente.
En conséquence, la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left( n \sin\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)$$ est de nature convergente.